Matriz

Concepto de matriz

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.


Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.


Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas



(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α ·A)t = α· At

(A · B)t = Bt · At

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -At.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A·At = I.

Integral por partes

Es una integral por partes, se resuelve por medio de la formula

Si (a) y (s) son constantes, tenemos; 

Sustituyendo

La integral del lado derecho de la expresión es otra integral por partes, resolviendo;

Sustituyendo tenemos;

La integral de lado derecho de esta última expresión es igual a la integral de lado izquierdo, transponiendo términos tenemos;

Sumando ambas integrales

 

Eliminando el coeficiente de la integral y transponiendo al lado derecho:

Solución:

Casos de factorización

1. Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.

      · Factor común monomio.

      · Factor común polinomio.

2. Factor común por agrupación de términos.

3. Trinomio cuadrado perfecto.

4. Diferencias de cuadrados perfectos.

5. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.

6. Trinomio de la forma (x^2 + bx + c).

7. Trinomio de la forma (ax^2 + bx + c).

8. Cubo perfecto de binomios.

9. Suma o diferencia de cubos perfectos.

10. Suma o diferencia de dos potencias iguales.

Tabla de derivadas

Es una tabla de derivadas básica, es ideal para aquellas personas que desean iniciarse en cálculo de derivadas, está de más decir que si deseas aprenden derivadas es necesario que memorices lo más que puedas de esta tabla.

Números primos

Números primos

Si m y n son dos números enteros y n≠0, se dice que n divide a m si m se puede escribir en la forma m=kn para algún entero k. Si n divide a m, también se dice que n es un factor o un divisor de m y que m es un múltiplo de n. por ejemplo: 36=12*3, luego 3 es un divisor de 36 y por lo tanto 36 es un múltiplo de 3.

Un numero primo p es un numero entero mayor o igual que 2 que solamente es divisible por 1 y por el mismo p. es decir, si p=n*m, con m y n enteros positivos, entonces n y m solamente pueden tomar los valores 1 y p.

Se sabe que existen infinitos números primos, de los cuales damos a continuaciónuna lista de los diez primeros:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…

También es conocido que todo numero entero mayor que 1 se puede descomponer como un producto de números primos. Por ejemplo:

122=2*61

400=2*2*2*2*5*5=24.52

81=3*3*3*3=34

385=5*7*11

Y decimos, por ejemplo, que 5, 7 y 11 son los factores primos o los divisores primos de 385.

LIBROS DE MATEMÁTICAS

LIBROS DE MATEMÁTICAS

Álgebra de matrices.,
Álgebra extraordinaria.,
Álgebra lineal y algunas de sus aplicaciones.,
Álgebra lineal.,
Álgebra lineal.,
Álgebra linear e geometria euclidiana.,
Álgebra recreativa archivi1.,
Álgebra recreativa archivo2.,
Álgebra recreativa.,
Acerca de la demostracion en geometria.,
Acerca de la geometria.,
Algebra vectorial.,
Análisis combinatorio archivo1.,
Análisis combinatorio archivo2.,
Análisis combinatorio archivo3.,
Análisis matemático en el campo de funciones racionales.,
Análisis matemático en preguntas y problemas.,
Análisis multivariado.,
Apuntes de Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería.,
Aritmética - Baldor.,
Algebra de baldor,
Cálculo [Boyce, DiPrima].,
Cálculo Diferencial e Integral [Granville].,
Cálculo Integral y Aplicaciones [Francisco Granero].,
Cálculo de Leithold,
Cálculo Diferencial e Integral - Schaum,
Cálculo diferencial e integral - Tomo 1 (Parte1) - N. Piskunov,
Cálculo diferencial e integral - Tomo 1 (Parte2) - N. Piskunov,
Cálculo Vol.2. Larson-Hostetler ,
Calculo diferencial e integral tomo 2 parte 1,
Calculo diferencial e integral tomo 2 parte 2,
Cálculo, Vol.1, Larson-Hostetler,
Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales,
Ecuaciones diferenciales,
Ecuaciones Diferenciales ordinarias,
Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera Boyce Diprima,
Ecuaciones Diferenciales,
Ecuaciones Diferenciales [Blanchard, Devaney, Hall].,
Ecuaciones Diferenciales [Borrelli, Coleman].,
Ecuaciones Diferenciales [Isabel Carmona Jover].,
Ecuaciones Diferenciales [Rainville, Bedient, Bedient].,
Ecuaciones Diferenciales Elementales [Rainville].,
Estructuras Algebraicas 1,
Estructuras Algebraicas 2.,
Estructuras Algebraicas 3.,
Estructuras Algebraicas 4.,
Estructuras Algebraicas 5.,
Estructuras Algebraicas 6.,
Estructuras Algebraicas 7.,
Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático Vol 1.,Problemas y ejercicios de análisis matemático. Demidovich ,
Geometría Analítica - Lehmann,
Cálculo Diferencial e Integral. Granville,
Matemáticas 1,
Ecuaciones diferenciales ordinarias. (MAKARENKO),
Series y transformadas de Fourier,
Introduccion al Cálculo y al Análisis Matemático Vol 1.,
Matemáticas avanzadas para ingeniería - Glyn James.,
Variable compleja y ecuaciones diferenciales.,

¿Qué es la matemática?

¿Qué es la matemática?

No es fácil definir lo que se entiende por matemáticas. Si acudimos al diccionario de la real academia española encontramos: “Matemática es la ciencia que trata de la cantidad”. A su vez, cantidad es todo lo que es capaz de aumento y disminución y puede, por consiguiente, medirse o enumerarse. Finalmente, “ciencia” es “el conocimiento cierto de las cosas por sus principios y sus causas”. Todas son definiciones imprecisas, de las que difícilmente, quien no tenga ya una idea previamente formada, podrá deducir algo concreto sobre lo que realmente es la matemática. Sin embargo, por costumbre que data de siglos y de acuerdo con la opinión de las personas que en cada momento de la historia se han considerado los conductores de las matemáticas y sus mas visibles exponentes , todos tenemos o creemos tener una idea de lo que queremos decir cuando nos referimos a la matemática. Por lo menos en los aspectos que podríamos llamar “interiores” al dominio de la matemática, esta idea es clara e indiscutida, si bien al acercarnos al contorno o las fronteras con otras ramas del conocimiento, nos encontramos con terrenos cuya rotulación como “matemática” ya no es tan indiscutible ni tan compartida, paradójicamente, la matemática, que trabaja siempre con definiciones bien precisas y con entes perfectamente delimitados, al tratarse de sí misma, en su totalidad, no parece que admita una definición exacta, ni que tenga limites bien determinados.

Tal vez esta imprecisión derive de su dualidad entre ciencia natural, que persigue encontrar y entender las leyes de la naturaleza, y filosofía o arte, en el sentido mas puro y platónico de estas disciplinas. Practica, o hace matemática, quien a partir de unos datos numéricos “calcula” un área o un volumen o el tiempo necesario para que un proyectil alcance su meta. Pero también hace y practica matemática quien busca propiedades de los números primos, establece teoremas sobre figuras geométricas o aclara la equivalencia entre postulados básicos de la teoría de conjuntos.

Aparentemente, esta dualidad de la matemática, podría pensarse como una consecuencia de su extención y que, por lo tanto, sus distintos aspectos son partes alejadas de un mismo cuerpo original, cada día mas distanciadas entre sí. Pero no es este el caso. El distanciamiento y poca conexión entre sus partes son solo aparentes. La unidad de la matemática es indisoluble y poco se puede avanzar en una dirección si se pierden de vista las otras ramas hermanas. Las aplicaciones son el estimulo y muchas veces la guía de la matemática pura. Pero sin esta, la matemática aplicada se agota rápidamente y se convierte en poco tiempo en cúmulo de recetas rutinarias, sin perspectiva de progreso.

Completación de cuadrados.

Completación de cuadrados.

En esta oportunidad vamos a explicar la técnica de completación de cuadrados, técnica útil en varias áreas de las matemáticas, (resolución de ecuaciones de 2do grado, cálculo integral, transformadas de laplace, etc.).

Para comprender mejor este método, nos enfocaremos primero en las ecuaciones del tipo

Aunque esta técnica no se limita a este tipo de expresiones. Los siguientes pasos van a estar enfocados en expresiones cuadráticas de la forma x^2 + bx + c = 0, o sea, cuando el coeficiente a = 1. En los ejemplos posteriores a estos pasos se mostrará como trabajar cuando a≠1. Es sencillo, así que no te preocupes.

Pasos para realizar la completación de cuadrados.

• Se selecciona el valor absoluto del término b, es decir, aunque este término sea negativo siempre lo tomaras positivo.

• Divides este término por 2 y a esa expresión la elevas al cuadrado. Ejemplo (b/2)^2.

• Suma y resta este nuevo término a la expresión dada.

• El primer término agregado se simplifica, osea, se simplifica la fracción que está dentro del paréntesis siempre y cuando esto sea posible, el segundo término se desarrolla.

• A los tres primeros términos se le completa cuadrado, a los dos últimos se le realizan operaciones.

• Para completar cuadrados se procede como sigue; se le calcula la raíz cuadrada al primer término, luego coloca el signo del término b, seguido de la raíz cuadrada del tercer término, que justamente va ser la expresión simplificada dentro del paréntesis. Toda esta expresión que calculaste se eleva al cuadrado.

• Ambas expresiones, la resultante de los tres primeros términos y la de los dos últimos será tu completación de cuadrados.

ejemplo 1, si a=1

se procede de la siguiente manera:

Ejemplo 2, si a≠1.

En este caso es necesario extraer el coeficiente del término cuadrático, aunque este no sea factor común de la expresión.

Ejemplo 3, si a≠1.

En esta última expresión debemos advertir que la fracción no se puede simplificar como en los casos anteriores, a demás, recuerde que dividir por dos es igual a multiplicar por 1/2.

Entonces (8/3)*(1/2) = 4/3

ANTECEDENTES DEL HIMNO NACIONAL DE VENEZUELA

Nuestro Himno Nacional surgió como un canto emocional en un momento de inspiración patriótica en los mismos albores de la Independencia. Consta, en efecto, que apenas se dio el golpe de estado del19 de abril de 1810, poseídos los venezolanos de un encendido fervor revolucionario, una de las primeras tareas fue la composición de una canción patriótica que pudieran entonar, en concordancia con el momento de exaltación que vivían.

Se había dicho hasta ahora, desde que Juan Vicente González lo acuñó y sin que hubiese surgido contradicción alguna, que el autor de la letra del «Gloria al Bravo Pueblo» fue el médico y poeta Vicente Salias, quien en un momento de euforia improvisó la canción en una de las sesiones de la Sociedad Patriótica.

Vicente Salias, nacido en Caracas el 23 de marzo de 1776, era poeta y escritor, además de médico. Fue fusilado en el castillo de Puerto Cabello, el 17 de setiembre de 1814.

Ahora bien: ¿fue, en realidad, Vicente Salias el autor de la letra del «Gloria al Bravo Pueblo»? El investigador Alberto Calzavara, quien falleció en plena capacidad creadora, en 1988, sostiene en su libro Historia de la Música en Venezuela que el compositor de la letra del Himno Nacional fue el maestro Andrés Bello.

Naturalmente, no es una opinión alegre, sino basada en la afirmación categórica contenida en el periódico caraqueño La Opinión Nacional, de 1874, que dice así: «El Americano del 16 de febrero último trae como regalo a sus numerosos suscriptores de todos los países que hablan el español el Himno Nacional de Venezuela, el célebre y heroico Gloria al Bravo Pueblo cuya letra compuso el ilustre venezolano Andrés Bello ... »

Se refiere a un encarte del periódico El Americano, de París, en febrero de 1874. Para esta fecha gobernaba Venezuela Guzmán Blanco, el mismo Presidente que en 1881 decretaría el Himno de Venezuela. En 1874, sin embargo, nadie se sorprendió de la información reproducida en La OpiniónNacional, ni nadie objetó dicha aseveración. En el Decreto de Guzmán Blanco no figuran los nombres de los autores del Himno, quizás porque las autoridades no tenían seguridad de quiénes fueron, o porque eran demasiado conocidos sus autores.

En todo caso, hay mucha similitud de conceptos y formas métricas en el Himno Nacional en comparación con otros poemas compuestos por Andrés Bello. En 1996 se reprodujo la polémica sobre los posibles autores del Himno. Se decía, por ejemplo, que a Andrés Bello no se le pudo haber escapado un gerundio tan feo como el que está en el Himno, en la frase la ley respetando.

Alexis Márquez Rodríguez, profundo conocedor de nuestro idioma, terció en el debate periodístico, explicando que ese gerundio es válido y, además, en las composiciones de Andrés Bello abundan ejemplos parecidos.

Con respecto al autor de la música, el mismo periódico caraqueño agrega esta información concluyente, refiriéndose a la canción que ya desde 1840 se conocía como la Marsellesa Venezolana:«La música, como nadie lo ignora en este país, es obra de nuestro fecundo compositor Lino Gallardo, que interpretó felizmente en ella el ardor épico de nuestros pueblos en la época gloriosa de nuestra independencia nacional ... »

Repito: nadie rechazó esta afirmación de la Opinión Nacional; ni Guzmán Blanco, que era el Presidente de la República y autor del futuro Decreto, ni el eminente polígrafo Arístides Rojas, que vivía para entonces.

Con respecto a Lino Gallardo la situación cambia. No sólo la tradición oral de la familia Gallardo y de numerosos personajes de la época dan fe de que la música del Himno la escribió este fervoroso patriota, sino que aparece su nombre en partituras antiguas, lo que no ocurre con Landaeta. Además de la publicación de 1874 que ya hemos señalado.

Lino Gallardo fue uno de los pocos pardos que desde el principio apoyaron el movimiento revolucionario. Luego del 19 de abril se le veía recorrer las calles de la capital entonando las canciones patrióticas que componía.

Lino Gallardo es autor de la Canción Americana (181l), de la canción patriótica Tu Nombre, Bolívar, la fama elevó (1827) y, naturalmente, del Gloria al Bravo Pueblo. Este notable músico que ejecutaba con maestría el violoncello, fue llamado por Andrés Level de Goda el «Hayden Caraqueño». Lino Gallardo murió en Caracas el 22 de diciembre de 1837. Su hija menor, Francisca de Paula, quemó todas las partituras de las obras compuestas por Gallardo, en protesta contra Guzmán Blanco, de quien era enemiga, al decretar éste, en 1881, la canción de su padre como Himno Nacional de Venezuela.

Guzmán Blanco firmó el decreto el 25 de mayo de 1881. Se cuidó mucho el Presidente Guzmán de no nombrar en su Decreto a los autores del Himno, gracias a lo cual todavía se polemiza y se trabaja en busca de la verdad.

Pese a todos los elementos a favor de Andrés Bello y Lino Gallardo como autores del Himno Nacional, oficialmente se tiene aún (1996) a Juan José Landaeta y a Vicente Salias.

En el programa televisivo Orlando con Orlando, los venezolanos tuvimos la oportunidad de escuchar la auténtica versión del Himno Nacional, interpretada por el tenor Carlos Godoy, el guitarrista Bartolomé Díaz y Ernesto Lestón en el oboe. Los instrumentos son originales de la época, y el asesoramiento del académico de la Historia Carlos F. Duarte.

Esta interpretación ha sido editada en disco compacto por la Asociación Venezolana Amigos del Arte Colonial (1995). La letra de esta versión original sin variaciones, la reproduzco aquí, con la esperanza de que muy pronto se esté entonando en todo el país y donde se quiera.

Desde hace mucho tiempo he sido partidario de que se declare de una vez por todas, con audacia, una edición oficial de nuestro Himno, dándole la autoría a quienes corresponde: a Bello y a Gallardo.

CANCION PATRIOTICA

GLORIA AL BRAVO PUEBLO 

Letra: Andrés Bello

Música: Lino Gallardo 

Gloria al Bravo Pueblo que el yugo lanzó,

La Ley respetando la virtud y honor. 

1

Pensaba en su trono que el ardid ganó,

Darnos duras leyes el usurpador. 

Previó sus cautelas nuestro corazón 

Y a su inicuo fraude opuso el valor. 

2

Abajo cadenas, gritaba el Señor,

Y el pobre en su choza 

Libertad pidió. 

A este santo nombre tembló de pavor, 

El vil egoísmo que otra vez triunfó. 

3

¿Qué aguardáis patriotas, hijos de Colón? 

¡Marchad tras nosotros y viva la unión¡ 

Y si el despotismo levanta la voz, 

Seguid el ejemplo que Caracas dio. 

4

Gritemos, con brío, muera la opresión,

Compatriotas fieles, la fuerza es la unión. 

Y desde el empíreo el Supremo autor, 

Un sublime aliento al pueblo infundió. 

5

Unida con lazos que el cielo formó,

La América toda, existe en nación. 

Temedla tiranos, que el orbe adoró, 

Ya jura ser libre, ya os ve con horror.

HIMNO NACIONAL DE VENEZUELA

   "GLORIA AL BRAVO PUEBLO"

Coro

Gloria al bravo pueblo

que el yugo lanzó,

la ley respetando,

la virtud y honor.

I

¡Abajo cadenas!

Gritaba el señor;

y el pobre en su choza 

libertad pidió.

A este santo nombre 

tembló de pavor 

el vil egoísmo 

que otra vez triunfó. 

II

Gritemos con brío: 

¡Muera la opresión! 

Compatriotas fieles, 

la fuerza es la unión; 

y desde el Empíreo 

el Supremo Autor, 

un sublime aliento 

al pueblo infundió. 

III

Unida con lazos

que el cielo formó, 

la América toda, 

existe en nación; 

y si el despotismo 

levanta la voz,

seguid el ejemplo 

que Caracas dio.

Letra: Vicente Salias

Música: Juan José Landaeta

"ANTECEDENTES DEL HIMNO NACIONAL DE VENEZUELA"